Comparaison de x et y

 

Exercice – Comparaison de $x$ et $y$

Avec $a>0$ et $b>0$.

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1) $x = \dfrac{2a+1}{a}$

x=a2a+1​ et

$y = \dfrac{a}{2a+1}$

y=2a+1a​

Étape 1 : simplifier $x$

$$x = \frac{2a+1}{a} = \frac{2a}{a} + \frac{1}{a} = 2 + \frac{1}{a}$$

Comme $a>0$, alors $\frac{1}{a}>0$.
Donc :

$$x > 2$$

Étape 2 : analyser $y$

$$y = \frac{a}{2a+1}$$

Le dénominateur $2a+1$ est plus grand que $a$.
Donc :

$$0 < y < 1$$

Conclusion :

$$x > 2 \quad\text{et}\quad y < 1$$

Donc :

$$\boxed{x > y}$$

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2) $x = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ et $y = \frac{2}{a+b}$

On compare :

$$x = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \quad\text{et}\quad y = \frac{2}{a+b}$$

Étape 1 : mettre au même dénominateur

$$x = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$$

Donc :

$$x = \frac{a+b}{ab} \quad\text{et}\quad y = \frac{2}{a+b}$$

Étape 2 : comparer $x$ et $y$

Comme tout est positif, on peut comparer les carrés ou faire un produit en croix :

$$x > y \iff \frac{a+b}{ab} > \frac{2}{a+b}$$

Produit en croix (valeurs positives donc l’inégalité est préservée) :

$$(a+b)^2 > 2ab$$

Développons :

$$a^2 + 2ab + b^2 > 2ab$$

Simplification :

$$a^2 + b^2 > 0$$

Cette expression est toujours vraie car $a>0$ et $b>0$, donc leurs carrés sont positifs.

Conclusion :

$$\boxed{x > y}$$

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RÉSUMÉ FINAL

Cas	Résultat
1	$x>$
2	$x>y$

Les deux fois, $x$ est strictement plus grand que $y$.